DETERMINANŢI



2.1. Definiţia determinantului de ordin n 4

 

            Fie A= o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii A.

 

            Definiţie. Dacă A= este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci

det(A) =.

            Definiţie. Determinantul matricii  este numărul

                                                 

şi se numeşte determinant de ordin 2. Termenii ,  se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.

            Definiţie. Determinantul matricii

este numărul

şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.

 

            Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple:

 

                        Regula lui Sarrus

            Fie determinantul de ordin 3,  Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos.

 

 

 

(am scris sub determinant 

primele două linii)

 

 

 

            Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus. Avem trei  astfel de produse: .

Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .

            Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”.

 

                        Regula triunghiului

            Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus.

            Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus.

Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât şi „regula triunghiului” se aplică numai determinanţilor de ordin 3.

 

                Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul

                                               

R. Regula lui Sarrus.

           

     Regula triunghiului

           

 

Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană)

            Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalţi cu semnul minus.

            Are loc următoarea proprietate:

            ,                          (1)

                        = .                          (2)

            Observaţii

1) Egalitatea (1) se mai numeşte dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeşte dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi.

2) Formulele (1) şi (2) sunt relaţii de recurenţă, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanţi de ordin inferior (2).

 

 

                        2.2. Definiţia determinantului de ordin n

 

            Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.

            Fie A=.

            Definiţie1. Se numeşte minor asociat elementului  determinantul matricii pătratice de ordin n – 1 obţinut prin suprimarea liniei i şi coloanei j din matricea A. Se notează acest minor prin  sau .

            Definiţie2. Se numeşte complement algebric al elementului  numărul . Exponentul al lui (–1) este suma dintre numărul liniei i şi coloanei j pe care se află .

 

            Definiţie. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică

.

            Observaţii

1) Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului

                                    .

2) Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii.

3) Definiţia determinantului de mai sus este încă puţin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăţi ale determinanţilor care să fie comode atât din punct de vedere al teoriei şi din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietăţi le prezint în paragraful următor.

4) Continuând cu explicitarea determinanţilor de ordin n – 1 din definiţie  se obţine pentru o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare produs conţinând elemente situate pe linii şi coloane diferite.

5) Determinantul este o funcţie .

 

            Exemplu Să se calculeze determinantul de ordin 4:

                                                .

R. Aplicăm definiţia dată mai sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem:

            =

                =,

unde determinanţii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanţii de ordin 3.

 

2.3.  Proprietăţile determinanţilor

 

      * Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adică dacă A, atunci                   .

                  Demonstraţie. Fie  şi .

Atunci , iar . Prin urmare .

           

            * Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.

            Demonstraţie. Avem  şi .

 

             Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniţiale.

                        Demonstraţie. Prin schimbarea liniilor să arăt că avem egalitatea . Avem evident .

 

            * Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.

                        Demonstraţie. Verific pentru linii (şi tot odată pentru coloane). Avem:

                                                .

 

             Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulţite cu un număr , obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu  înmulţit cu determinantul matricii iniţiale.

                        Demonstraţie. Verificăm pentru linii proprietatea.

                                    .

 

             Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporţionale, atunci determinantul este nul.

                        Demonstraţie. Verificăm pentru linii.

                                    .

 

            * Dacă linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanţi corespunzători matricelor care au aceleaşi linii ca A, cu excepţia liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.

                                    .

                        Demonstraţie. Am de arătat că:

                                                .

Într-adevăr membrul stâng este egal cu . Membrul drept este  şi egalitatea se verifică.

Obs.: O proprietate analogă are loc şi pentru coloane.

 

             Dacă o linie (o coloană) a unei matrici pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

 

             Dacă la o linie (o coloană) a matricii A adunăm elementele altei linii (coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A.

                        Demonstraţie. Voi aduna la linia întâi linia a doua înmulţită cu . Vom nota acest fapt prin . Avem:

                                    .

 

                                        

 

      *      A.

 

            * Dacă A= este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci . (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală).

 

             Dacă A, B, atunci  (Determinantul produsului a două matrici pătratice este egal cu produsul determinanţilor acelor matrici).

            În particular  n.

 

            Teoremă. Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii  şi complemenţii lor algebrici, adică

                        .

(Formula lui  dă dezvoltarea determinantului după elementele liniei i).

 

            Această teoremă permite să calculăm determinantul unei matrici după oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cât mai uşor) mai multe zerouri.

            Observaţie: Ţinând seama de proprietatea  teorema precedentă are loc şi pentru coloane sub forma:

                        .

 

                        2.4. Calculul inversei unei matrici

 

            Definiţie. Fie A. Matricea A se numeşte inversabilă dacă există matricea B cu proprietatea că ,  fiind matricea unitate.

            Matricea B din definiţie se numeşte inversa matricii A şi se notează . Deci

                                                .

 

            Teoremă.   Matricea A este inversabilă dacă şi numai dacă  O astfel de matrice se numeşte nesingulară.

 

            Construcţia lui  presupune următorii paşi:

 

Pasul 1. (Construcţia transpusei)

Dacă ,

atunci construim transpusa lui A .

 

Pasul 2. (Construcţia adjunctei)

            Matricea

obţinută din , inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A.

 

Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că:

            iar de aici

 

            Ultimele egalităţi arată că

 

 

 

                        2.5. Ecuaţii matriciale

 

            Voi prezenta în continuare o tehnică de rezolvare a unor ecuaţii de forma , , , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaţii se numesc ecuaţii matriciale.

            Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici pătratice inversabile.

           

Pentru rezolvarea ecuaţiei  înmulţim la stânga egalitatea cu  şi avem:

                        .

Deci soluţia ecuaţiei date este .

 

            Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei  vom înmulţi la dreapta cu  şi analog vom găsi , soluţia ecuaţiei matriciale.

 

            Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei  înmulţim egalitatea la stanga cu  şi la dreapta cu  şi obţinem .