Ecuatii exponentiale

Se numeşte ecuaţie exponenţială, ecuaţia in care necunoscuta este exponent sau in care este exponentul este o expresie.

In practică, atunci cand avem de rezolvat o ecuaţie exponenţială, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă exponenţilor şi bazei atunci cand este cazul ;

Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţie funcţiei exponenţiale pană se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări in ecuaţia dată iniţial.

a). Ecuaţii de tipul ecuatii exponentiale.

Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia : ecuatii exponentiale. In aceste ecuaţii b trebuie exprimat ca o putere a ui a(atunci cand este posibil).

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : ecuatii exponentiale.

ecuatii exponentialeecuatii exponentiale.

Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = {-2,3}.

b). Ecuaţii de tipul ecuatii exponentiale.

Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică ecuatii exponentiale, care se rezolvă cu metode cunoscute.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : ecuatii exponentiale.

ecuatii exponentiale => ecuatii exponentiale.

Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = {0,6}.

c). Ecuaţii de tipul ecuatii exponentiale.

In acest caz se logaritmează ecuaţia convenabil intr-o anumită bază şi apoi se fac transformări pentru a obţine o ecuaţie algebrică mai simplă.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : ecuatii exponentiale.

Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice se obţine prin logaritmare in baza 10 ecuaţia echivalentă :

ecuatii exponentiale .

d). Ecuaţii de tipul

.

In acest caz se face substituţia ecuatii exponentiale şi se formează o ecuaţie

de gradul doi, de forma ecuatii exponentiale , cu soluţiile căreia se revine la substituţia făcută. In final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct dacă egalitatea dată iniţia este adevărată.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : .

Se observă o substituţie de forma ecuatii exponentiale

ecuatii exponentiale =>

Ecuaţia de gradul doi ataşată ecuatii exponentiale, are soluţiile ecuatii exponentiale. Revenind la substituţie, se acceptă numai t = 16. Se obţine

d). Ecuaţii de tipul

ecuatii exponentiale

Ecuaţia de gradul doi ataşată ecuatii exponentiale , are soluţiile . Revenind la substituţie, se acceptă numai valoarea pozitivă t = 16. Se obţine ecuatii exponentiale