Functia exponentiala

1). Puteri cu exponent real

a ). Puteri cu exponent real pozitiv

Fie a > 1. Se numeşte puterea x a lui a unnumăr real ycare, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile :

functie exponentiala
unde numarul real x > 0 are reprezentarile zecimalefunctie exponentialasi functie exponentiala prin lipsa si repectivprin ados cu o eroare mai mica decat functie exponentiala .Numarul y dat de definiţia precedentăse notează functie exponentiala şi se citeşte a laputerea x.

Fie 0 < a <1 şi x un număr realpozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr realy care, pentru orice numărnatural n , satisfaceinegalităţile : functie exponentiala

Atenţie  ! Oricare ar fi a > 0 şix > 0 are loc functie exponentiala> 0.

 

b). Puteri cu exponent real negativ

Dacă a > 0 şi x > 0 este un număr real negative, atunci prindefiniţie are loc: functie exponentiala.

Prin convenţie se scrie functie exponentiala.

 

c). Proprietăţi ale puterilor cuexponent real

1. functie exponentiala

2. functie exponentiala;

3. functie exponentiala;

4. functie exponentiala;

5. functie exponentiala.

 

 

2). Funcţiaexponenţială

Definiţie. Funcţia f:R->(0,+functie exponentiala), f(x)= functie exponentiala, unde a > 0, a functie exponentiala 1 se numeştefuncţiaexponenţială de bază a.

Proprietăţi

1).   a). Dacă a >1, atunci pentru x > 0 avem functie exponentiala>1 ar loc functie exponentiala > 1, iar pentru x < 0are loc functie exponentiala < 1.

        b). Dacă 0<a <1, atunci pentru x > 0 avem functie exponentiala<1, iar pentru x < 0avem functie exponentiala > 1.

2). Dacă x = 0. atunci oricare ar fi a > 0 are loc functie exponentiala

3). Pentru a > 1, funcţiaexponenţială f:R->(0,+), f(x)=functie exponentiala este strict crescătoare,iar pentru 0 < a < 1,funcţia este strictdescrescătoare.

4). Funcţiaexponenţială f:R->(0,+), f(x)=functie exponentiala, a > 0, a functie exponentiala 1 este bijectivă.

Demonstraţie.Se aratăcă f este injectivă. Fie, functie exponentiala astfel incat functie exponentiala. Atunci are loc functie exponentiala sau functie exponentiala. Să presupunem, de exemplu, că functie exponentiala. Atunci, după monotonia funcţiei exponenţiale,rezultă că :

1). Dacă a> 1, atunci şi deci functie exponentiala.

2). Dacă 0<a>1,atunci functie exponentiala şi deci .

Analog, rezultă pentru functie exponentiala.

Deci f esteinjectivă.

Dacă se foloseşte graficul, seobservă că oriceparalelă dusă prin puncteale codomeniului(0, +) graficul funcţiei esteinteresctat in cel puţin un punct.

5). Funcţiaexponenţială f:R->(0,+), f(x)=functie exponentiala, a > 0, a functie exponentiala 1 esteinversabilă. Inversa funcţiei exponenţiale se numeşte funcţie logaritmică.

 

3).Graficul funcţiei exponenţiale

Graficul funcţiei exponenţiale seconstruieşte prin puncte.

Exemplu.

Să se construiascăgraficul funcţiei f:R->(0,+functie exponentiala), f(x)=, pentru functie exponentiala.

Se intocmeşte un tablou de valori pentu celedouă cazuri :



Graficelecelor două funcţii sunt reprezentate mai jos :

 

Analizand cele douăgrafice, constatăm că ele au următoareleproprietăţi :

  1. Graficele se găsesc deasupra axei Ox ;
  2. Trec prin punctul de coordonate (0, 1) ;

3.     Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-osingură ramură care "urcă"

4.     Graficul se apropie din ce in ce mai mult de axa Ox pozitivă dacă dacă0<a<1 şi de Ox negativă dacă a > 1.

 

IMPORTANT!

1. Orice putereraţională de forma functie exponentialase poate scrie sub forma unui radical de forma functie exponentiala.

2. Dacă a>1 este un număr real, atuncidintre două puteri cu exponent raţional pozitivale ale acestuinumăr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mare.

3. Dacă 0 < a <1 este un număr real, atuncidintre două puteri cu exponent raţional pozitivale ale acestuinumăr, este mai mare acela al cărei exponent este mai mic.

4. Prin numărulreal functie exponentiala se inţelegaproximările:

functie exponentiala

Probleme rezolvate

E1.C3-1. Ce se inţelege prin numărulreal functie exponentiala se inţelegaproximările:

 

E2.C31-1. Sa se demonstreze ca functia f:R->(0,+functie exponentiala), f(x)=functie exponentiala este strict crescătoare.

E2.C3-1. Rezolvare. Din functie exponentiala, rezultă că există u> 0 astfel incat functie exponentiala. Atunci functie exponentialaşi deoarece u > 0după proprietatea funcţiei exponenţiale rezultă că functie exponentiala. Aşadar, functie exponentiala de unde functie exponentiala. Inseamnă că functie exponentiala=>functie exponentialaf strictcrescătoare.

E3.C32-1. Să se aducă la forma cea mai simplă functie exponentiala.

E3.C3-1. Rezolvare. Avem succesiv:

functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala=functie exponentiala.

E4.C3-1. Să se compare m şin dacă este adevăratăinegaitatea:

functie exponentiala.

E4.C3-1. Rezolvare. Baza fiind subunitară functie exponentiala, pentru adevărul inegalităţii rezultă m functie exponentiala n.

E5.C3-1. Să se afle mulţimea valorilor lui x pentru care:

functie exponentiala.

E5.C3-1. Rezolvare. Avem succesiv :

functie exponentiala<=><=>functie exponentiala<=>

<=>functie exponentiala<=>functie exponentiala<=>functie exponentiala<=>functie exponentiala.

E6.C3-1. Sunt echivalente inegalităţile functie exponentialaşi functie exponentiala ?