Functia logaritmica

Prin definiţie, se numeşte funcţie logaritmică funcţia , unde a > 0, a

Proprietăţi :

  1.       1.   , ceea ce inseamnă că

2.      Funcţia logaritmică este monotonă şi anume dacă a>1, funcţia este strictcrescătoare, iar dacă 0<a <1, funcţia este strict descrescătoare.

3.      Funcţia logaritmică este bijectivă.

4.  Funcţia logaritmică este inversabilă. Inversa funcţiei logaritmice in baza a este funcţia exponenţială .

Dacă x avem

şi dacă , atunci .

Graficul funcţiei exponenţiale

Graficul funcţiei exponenţiale se construieşte prin puncte.

Exemplu

Să se construiască graficul funcţiei f: (0,+ )->R, f(x)= , pentru .

Se intocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri :


 

Graficele celor două funcţii reprezentate mai jos au proprietăţile :

1). Graficele se găsesc la dreapta axei Oy ;

2). Trec prin punctul de coordonate (1, 0) ;

3). Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură ramură care "urcă" dacă

baza a > 1 şi "coboară" dacă baza 0<a<1 




4). Graficul se apropie din ce in ce mai mult de axa Oy pozitivă dacă 0<a<1  şi de axa Oy negativă dacă a > 1.

5). Graficul funcţiei logaritmice este simetricul graficului funcţiei exponenţiale faţă de prima bisectoare.

Probleme rezolvate

Set probleme I. Să se calculeze: a). ; b). ; c). .

Rezolvare set probleme I.

a). =x => ;

b). =x => ;

c). =x=>

=> .

Set probleme II. Să se calculeze: a). ; b).  ;

c).  ; d). .

Rezolvare set probleme II.

a).

b). ;

c).

d).

Problema. Să se arate că expresia nu depinde de x.

Rezolvare. Avem

.

Problema. Să se reprezinte pe acelaşi sistem de axe graficele funcţiilor :

şi .

Rezolvare. Se intocmesc tabele de valori pentru cele două funcţii, considerand valori care să se poată calcula uşor.



Graficele celor două funcţii sunt simetrice faţă de prima bisectoare a sistemului de axe Oxy.