INELE SI CORPURI

 

Un triplet (R,+,*), unde R este o multime nevida iar ,,+” si ,,*” sunt doua legi de compozitie pe R ( numite adunare si inmultire ),este inel daca:

   (G) (R,+)este grup abeliant

   (G) (R,*)este monoid

   (D) inmultire este distributiva fata de adunare:

Ori care ar fii x,y,z apartine lui R, x(y+z)=xy+xz,(y+z)x=yx+zx

 

Inelul R nu are divizori al lui 0 ,daca  x ≠ 0, y ≠ 0 → xy ≠ 0

Un inel R se numeste comutativ daca satisface si axioma:(M3 ) xy=yx, ori care ar fii x,y apartine lui R.

Un inel R comutativ,cu cel putin 2 elemente si fara divizori al lui 0, se numeste,domeniu de integritate .

Fie Z [ i ] = {a+bi | a,b є lui Z}. ( Z[i], +, *)se numeste inel  intregilor lui Gauss.

Fie (R,+,*) inel. Operatia y-x=y+(-z),y,z є R se numeste diferenta.

 

 

Intr-un inel (R,+,*) au loc urmatoarele propietati:

   1). Oricare ar fii x є R, x0=0x=0

   2). Intru-un inel cu cel putin 2 elemente avem 1≠0

   3). Regula semnelor: Oricare x Oricare,(-x)y=x(-y)=-xy si (-x)(-y)=xy.

   4). Distribuitatea inmultiri fata de scadere: oricare x є R, x(y-z) = xy –xz si (y-z)x=yx –zx .

   5). Intr-un inel R fara divizori ai lui 0 putem simplifica cu elementele diferite de 0.adica oricare ar fi x,y,zє R,x ≠ 0,xy = xz sau xy = zx→y=z.

Elementele inversabine ale unui inel R se numeste unitati ale lui R.Notam cu U (R) multimea unitatilor inelului R. U(R) este grup in raport cu operatia indusa de inmultirea lui R numit grupul unitatilor inelului R .

Fie I o multime nevida si R un inel.Notam R`={f| f:I→R}multimea tuturor functiilor f:I→R.pentru f,g є R` si x є I,f(x) si g(x) sunt elementele ale inelului R.

Putem defini astfel functiile: f+g : I → R , (f+g) (x) = f (x) + g (x) , x є I si fg : I → R , (fg) (x) = f (x) * g (x) numita suma respectiv produsul functiei f cu o functie g.(R`,+,)

este inel si ,in cazul in care(R,+,* ) este comutativ, (R`,+,* )este inel comutativ.

 

Daca R este domeniu de integritate,atunci R[X] este domeniu de integritate si oricare ar fi f,g є R[X],f ≠ 0, g ≠ 0, grad fg=grad f=grad g.

 

Fie R inel comutativ,f=a0 + a1+…….+an x є R [X] si ά є R . Elementul f( ά)

= a0+ a1ά + a2ά +…….+an ά є R , se numeste  valoarea in ά  a polinomului f .

 

 

 

 

 

 

Valoarea sumei si a produsului polinoamelor f , g є R [X] in ά є R este egala cu suma , respectiv prod val lui f si g in ά : (f+g)( ά) = f(ά)  + g(ά), (fg ) (ά)=f(ά)g(ά).

                  Fie  f є R [X]. Functia   f*:R →R definita prin f *(x) = f (x) є R, oricare ar fi x є R este functia polinomiala asociata polinomului f . Vom nota functia f* tot cu f

Zerourile functiei polinomiale functiei polinomiale f,se numeste radacina din R ale polinomului f.Asadar un element ά є R,este radacina dinR a polinomului f є R [X]daca f(ά)=0.

             

               Teoria restului:restul impartiri polinomului f є R [X] se divide prin:x-ά є R [X] este f(ά).

               Teoria factorului , bezout:polinomul f є R [X] se divide prin x-ά є R [X] daca si numai daca f(ά)=0.

              

                Proprietati :

 

1.Un corp nu are divizpri ai lui 0.

2.Elementele nenule ale unui corp formeaza grup cu inmultirea.

3.orice domeniu de integritate finit este corp.

                    

                    Fie inel R,+* si (R`,+.*).O functie  f :R→R` se numeste morfism de inel daca , x,y є R: (1)   f(x+y)=f(x) + f(y)    (2) f(x*y)=f(x) * f (y) ; (3) f(1)=1`,unde 1 unitatea inelului R si 1` unitatea lui R`.

Un morfism de inel bijectiv se numeste izomorfism .Inelul R este izomorfism cu inelul R` ,si se scrie  R ~ R ` ,daca exista cel putin un izomorfism f:R→R` .

 

Fie f:R→R`un morfis de inele.Atunci

   f(0) = 0`,0 find element nul din R cu 0` cel din R`

   f(-x) = -f (x), ori care ar fi xє R

   daca x є R este inversabila in inelul R, atunci f (x) este elementul inversabil al inelului R` si f (x`)=f(x) .

O functie f:K →K` de la un corp K la un corp K` se numeste morfism (izomorfism)de corpuri daca este morfism (izomorfism) de la K la K`considerate ca inele.

Orce morfism de corpuri f:K →K` este injectiv.

Fie K un corp comutativ si f,g є K [x],g ≠0