Logaritmi

1.Definitia logaritmului unui numar pozitiv

Fie a>0 un numar real pozitiv,a.Consideram ecuatia exponentiala

ax=N,N>0 (1)

Ecuatia (1) are o solutie care este unic determinata.Aceasta solutie se noteaza

X=logaN (2)

si se numeste logaritmul numarului pozitiv baza a.

Din (1) si (2) obtinem egalitatea

alogaN=N (3)

care ne arata ca logaritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza a (a>0,a)pentru a obtine numarul dat

Daca in (1) facem x=1,obtinem a1=a si deci

logaa=1 (4)

Exemple

  1. Sa se calculeze log232.

Cum 25=32,atunci din definitia logaritmului avem log232=5.

  1. Sa se determine log2.

Din egalitatea 2-4=,obtinem log2=-4.

3)Sa sa determine log1/327.

Sa consideram ecuatia exponentiala x=27.Cum -3=-3=27,obtinem x=-3

si deci log1/327=-3.

4)Sa se determine log4256.

Cum 44=256,atunci din definitia logaritmului obtinem log4256=4.

 

Observatii

 

1.In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc si logaritmi zecimali.Acestia se noteaza cu lg in loc de log10;de aceea nu mai este nevoie sa se

specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 in loc de log10106 si lg5 in loc de log105 etc.

2.In matematica superioara apar foarte des logaritmi care au ca baza numarul

irational,notat cu e,e=2,718281828… .Folosirea acestor logaritmi permite simpli-

ficarea multor formule matematice.Logaritmii in baza e apar in rezolvarea unor

probleme de fizica si intra in mod natural in descrierea matematica a unor pro-

cese chimice,biologice.De aceea acesti logaritmi se numesc naturali.Logaritmul

natural al numarului a se noteaza lna.

2.Functia logaritmica

Fie a>0,a un numar real.La punctul 1 am definit notiunea de logaritm in baza a;

fiecarui numar pozitiv N i s-a asociat un numar real bine determinat.Acest lucru ne permite sa definim o functie

f:(0,+),f(x)=logax numita functie logaritmica.

 

Proprietatile functiei logaritmice:

1.f(1)=0.

Cum a0=1 rezulta ca loga1=0 si deci f(1)=0.

2.Functia logaritmica este monotona.Daca a>1,atunci functia logaritmica este strict crescatoare,iar daca 0<a<1,functia logaritmica este strict descrescatoare.

Sa consideram cazul a>1 si fie x1,x2(0,+) astfel incat x1<x2.Cum x1=alogax1 si

X2=alogax2,rezulta ca alogax1<alogax2.

Dar functia exponentiala fiind crescatoare obtinem ca logax1<logax2,adica f(x1)<f(x2).

In cazul 0<a<1,din inegalitatea alogax1<alogax2 si din faptul ca functia exponentiala cu

baza un numar real 0<a<1 este strict descrescatoare,rezulta ca logax1>logax2,adica

f(x1)>f(x2).

3.Functia logaritmica este bijectiva

Daca x1,x2(0,+) astfel incat f(x1)=f(x2),atunci din logax1=logax2.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obtinem x1=alogax1 si x2=alogax2,adica x1=x2.Deci f este o functie in-

jectiva.

Fie y un numar real oarecare.Notam cu x=ay.Se vede ca x si logax=logaay=y

Deci f(x)=y,ceea ce ne arata ca f este si surjectiva.Asadar,f este bijectiva.

4.Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala

Functia logaritmica f:(,f(x)=logax,fiind bijectiva,este inversabila.Inversa ei

este functia exponentiala g,g(x)=ax.

Intr-adevar,daca xavem (gf)(x)=g(f(x))=g(logax)=alogax=x si daca y,atunci

atunci (fy)=logaay=y.

 

3)Proprietatile logaritmilor

Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati

pentru logaritmi:

a.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci

loga(AB)=logaA+logaB

 

(logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere).

Intr-adevar,daca logaA=x si logaB=y,atunci ax=A si ay=B.Cum ax+y=axay,obtinem

Ax+y =A*B si deci loga(AB)=x+y=logaA+logaB.

Observatie.

Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1,A2,...,An adica

Loga(A1A2…An)=logaA1+logaA1+logaA2+…+logaAn.

b.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci

logaaA-logaB

(logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numara-

torului si cel al numitorului).

Intr-adevar,tinand cont de proprietatea a.,avem logaA=loga=loga+logaB,

de unde rezulta ca loga=logaA-logaB.

Observatie.

Daca punem A=1 si tinem cont ca loga1=0,obtinem egalitatea:

loga=-logaB

c.Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar,atunci

logaAm=mlogaA

(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si loga-

ritmul numarului).

Intr-adevar,daca logaA=x,atunci ax=A.Dar atunci Am=(ax)m=amx si deci logaAm=mx=

=mlogaA.

d.Daca A este un numar pozitiv si n un numar natural(n2),atunci

loga=logaA/n

(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul numarului).

Intr-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietatii c,punand m=.

 

Exemple

1)Sa se calculeze log375.

Log375=Log3(3*25)=Log33+Log325=1+Log352=1+2Log35.

2)Sa se determine log21000-log2125

Avem log2100-log2125=log2=log28=log223=3.

3)Sa se calculeze lg0,18-lg180.

Avem lg0,18-lg180=lg=lg=lg10-3=-3.

4)Sa se calculeze log6+log6.

Avem log6+log6=-log618-log612=-(log618+log612)=-log6(18*12)=-log663=-3.

5)Sa se calculeze log2.Avem log2=log281=log234=log23.

6)Sa se calculeze log2.Avem log2=log28=log223=log22=.

 

4.Schimbarea bazei logaritmului aceluiasi numar

Daca a si b sunt doua numere pozitive diferite de 1,iar A un numar pozitiv oarecare,are loc egalitatea:

LogaA=LogbA*Logab

Intr-adevar,daca LogaA=x si LogbA=y,atunci avem ax=A si by=A,de unde obtinem ax=by.Dar atunci Logaax=Logaby sau xLogaa=yLogab.

Cum Logaa=1,avem x=yLogab,adica LogaA=LogbA*Logab.

Observatie.

Daca in egalitatea de mai sus A=a,obtinem Logaa=Logba*Logab.Cum Logaa=1,rezulta

ca:

Logab=

 

Exemple

1)Sa se scrie log2x in functie de log4x.

Avem log2x=log4x*log24=2log4x.

2)Sa se arate ca log26+log62>2.

Avem log26+log62=log26+.

Deci trebuie sa aratam ca log26+>2 sau (log26)2-2log26+1>0,sau inca (log26-1)2>0

inegalitate evidenta deoarece log261.

 

5)Operatia de logaritmare a unei expresii

 

Sa consideram expresia:

E=

Vom logaritma expresia intr-o anumita baza convenabila a.Folosind proprietatile logaritmilor,obtinem:

logaE =loga(-loga=loga173+loga+loga-=

=3loga17+loga131+loga92-loga37-loga98-loga23.

Deci am obtinut egalitatea:

LogaE=3loga17+loga131+loga92-loga37-loga98-loga23.

In general,daca E este o expresie algebrica in care apar produse de puteri si radicali,

putem sa-I asociem,exact ca in exemplu de mai sus,o expresie,notata log E,in care apar

sume (diferente) de logaritmi inmultite eventual cu anumite numere rationale.Operatia

prin care expresiei E i se asociaza expresia log E se numeste”operatie de logaritmare”.

 

Exemple

 

  1. Fie E=a2 .Prin operatia de logaritmare,obtinem:

loccE=logc(a2 )=logca2+logc=2logca+logca+logcb.

2)Fie E=.Prin operatia de logaritmare,obtinem:

logcE =logc=logc=(logca3-logcb5)=logca-logcb.

 

Adesea in calcule este nevoie sa se faca si operatia inversa,adica unei expresii in care intervin logaritmi sa-i asociem o expresie fara logaritmi.

De exemplu,sa consideram expresia logcE=2logca-logcb-3logc3.

Folosind proprietatiile logaritmilor,avem:

LogcE=logca2-logc-logc33=logc=logc,de unde obtinem ca

E=.

 

 

 

 

 

Ecuatii si inecuatii logaritmice

 

 

1)Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi.

De exemplu:logx+1(x+2)=1;lg(x2+x-2)=3;logx(5x2+3)=lg(2x+3)-1.

Folosind injectivitatea functiei exponentiale,avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul logg(x)f(x)=b este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei f(x)=g(x)b.Vom avea insa grija ca solutiile obtinute sa satisfaca f(x)>0,g(x)>0,g(x)pentru care expresia logg(x)f(x) are sens.

La fel ca la ecuatiile exponentiale,in practica atunci cand avem de rezolvat o ecuatie logaritmica,vom proceda astfel:folosind diverse substitutii precum si proprietatile logaritmice,vom cauta s-o reducem la rezolvarea unor ecuatii simple,de regula de gradul intai sau de gradul al doilea.

 

Exemplu

 

Sa se rezolve ecuatia:logx(x2-3x+9)=2.

Obtinem x2-3x+9=x2 si deci 3x=9,x=3.Deoarece pentru x=3>0,expresia x2-3x+9 este pozitiva,rezulta ca x=3 este solutie a ecuatiei.

 

Rezolvarea altor ecuatii se bazeaza pe injectivitatea functiei logaritmice,si anume din logaf(x)=logag(x),deducem f(x)=g(x),impunand conditiile:f(x)>0,g(x)>0

 

Exemple

 

1) Sa se rezolve ecuatia:lg(x2-15)=lg(x-3).Deducem ca x2-15x=x-3,deci x2-x-12=0

adica x1=4,x2=-3.Deoarece pentru x2=-3 obtinem x-3=-3-3=-6<0,rezulta ca x2=-3 nu este solutie a ecuatiei.Deci numai 4 este solutie.

 

2)Sa se resolve ecuatia:2lg(x-1)=lgx5-lg.In aceasta ecuatie punem de la inceput conditiile x-1>0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-1),lg x5,lg.

Ecutia se mai scrie 2lg(x-1)=lgx-lgx si deci 2lg(x-1)=2lgx.Prin urmare,lg(x-1)=lgx,de unde obtinem x-1=x,-1=0,contradictie;rezulta deci ca ecuatia data nu are solutii.

3) Sa se rezolve ecuatia:lg(x+7)+lg(3x+1)=2.Punem conditiile de existenta a logaritmilor:x+7>0,3x+1>0,deci x>-.Obtinem lg(x+7)(3x+1)=2 si deci (x+7)(3x+1)=102=100.Rezulta ecuatia de gradul al doilea 3x2+22x-93=0,de unde rezulta x1=3,x2=-.Deoarece -<-,obtinem ca 3 este singura solutie a ecuatiei date.

 

Observatie

 

Ecuatia precedenta nu este echivalenta cu ecuatia lg(x+7)(3x+1)=2,care are doua solutii x1=3,x2=-,deoarece pentru amandoua aceste valori ale lui x,lg(x+7)(3x+1) are sens.

 

4) Sa se rezolve ecuatia:log23x-3log3x-4=0.Avem conditia x>0 si facand substitutia log3x=y,obtinem y2-3y-4=0.Deci y1=4,y2=-1.Din log3x=4.obtinem x=34,x=81,iar din log3x=-1,obtinem x=3-1,x=.

In continuare vom rezolva cateva ecuatii care nu se pot incadra intr-un anumit tip.Astfel,pot aparea ecuatii cu logaritmi scrisi in diferite baze,ecuatii in care apar expresii continand necunoscute si la exponenti si la logaritmi etc.

5)Sa se rezolve ecuatia:log2x+log3x=1.Deducem,aplicand formula de schimbare a bazei, sau lgx=Deci x=10.

6)Sa se rezolve ecuatia:log3x+logx3=2.Deoarece logx3=,rezulta log3x+=2.Notand log3x=y,obtinem y+,adica y2-2y+1=0;deci y=1,adica log3x=1.Prin urmare,x=3.

7)Sa se rezolve ecuatia:xlgx+2=1000.Punem conditia de existenta a expresiilor:x>0.Logaritmand,obtinem o ecuatie echivalenta lg(xlgx+2)=lg1000 care devine (lgx+2)lgx=3.Notand lgx=y,avem y2+2y-3=0 si deci y1=-3,y2=1.Din lgx=-3,

obtinem x=10-3,x=0,001,iar din lgx=1,rezulta x=10.

 

 

 

 

2)Sisteme de ecuatii logaritmice

 

In astfel de sisteme se aplica metodele aratate anterior la ecuatiile de tipul respectiv.

 

Exemplu

 

Sa se rezolve sistemul x2+y2=425

lgx +lgy=2

Obtinem,pe rand sistemele x2+y2=425 x2+y2=425

lgxy =2 xy=1000

x,y>0 x,y>0

 

Acest sistem simetric il putem rezolva pe caile cunoscute din clasa a IX-a:punem s=x+y,p=xy si vom avea s2-2p=425 s2=625 s=25

P=100 p=100 p=100

Sistemul s=25

P=100 da solutiile (5,20),(20,5) care satisfac si conditiile de existenta ale sistemului initial,x>,y>0.Sistemul s=-25

P=100 da solutiile (-20,-5),(-5,-20),care nu convin.

 

 

 

3)Inecuatii logaritmice

Rezolvarea inecuatiilor logaritmice se bazeaza pe proprietatile de monotonie ale functiei logaritmice.Am vazut ca functia logaritmica este crescatoare daca baza este supraunitara si descrescatoare daca baza este subunitara.

 

Exemple

 

1)Sa se rezolve inecuatia:log(2x-1)>-3.Avem ca -3=log27 si inecuatia devine log(2x-1)>log27.Deoarece baza a logaritmului este subunitara (functia g:(0, este descrescatoare),inecuatia devine 2x-1<27,adica x<14.In acelasi timp,din conditia de existenta a logaritmului initial,avem 2x-1>0,deci x>.Deci obtinem pentru x valorile posibile x.

 

4) Sisteme de inecuatii logaritmice

 

In astfel de sisteme se aplica proprietatile si metodele aratate anterior la inecuatiile

Logaritmice.Rezolvarea acestora se reduce in definitiv la rezolvarea sistemelor de ine-

cuatii intalnite in clasa a IX-a.

Exemplu

 

Sa se rezolve sistemul

 

2>2x+1

log3(x2-3x+9)<3. Observam,mai intai,ca x2-3x+9>0 oricare ar fi x real(

|x-2|>3 deci logaritmul este definit pentru orice x real.

 

Deoarece 3=log327 si,tinand seama de monotonia functiilor exponentiala si logaritmica,rezulta sistemul echivalent

 

X2-2x-3>x+1 x2-3x-4>0

X2-3x+9<27 x2-3x-18<0

|x-2|>3 |x-2|>3

Multimea solutiilor inecuatiei x2-3x-4>0 este M1=(multimea solutiilor inecuatiei x2-3x-18<0 este M2=(-3,6),iar multimea solutiilor inecuatiei

|x-2|>3 este M3=(Atunci multimea solutiilor sistemului este M=M1

 

 

 

 

 

 

Aplicatii

 

I.Admiterea in invatamantul superior

1.Sa se calculeze expresia:

E=log225-log2

Informatica,Baia Mare,1997

 

E=log2E=log235*log2log21=0

E=0.

 

2.Sa se rezolve sistemul

 

xy=40

xlgy=4

Colegiu de Informatica,Cluj,1997

 

xy=40y=

xlgy=4

 

lgxlgy=lg4

lgy*lgx=lg4

lg*lgx=lg4

(lg40-lgx)lgx=lg4

lgx*lg40-lg2x=lg4

lg2x-lgxlg40+lg4=0

Notam lgx=y

y2-ylg40+lg4=0

lg240-4lg4=(lg4+lg10)2-4lg4=lg24+2lg4+1-4lg4=lg24-2lg4+1=(lg4-1)2

y1,2=

=

 

3.Stiind ca log40100=a,sa se exprime log1625 in functie de a.

Chimie,Metalurgie,1981

Log4100=a=a

 

 

4.Stiind ca a=lg2 si b=lg3 sa se calculeze x=3

Matematica-Fizica,Sibiu,1998

 

X=3

5.Sa se arate ca expresia: E=este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,z,y.

Inginerie,Constanta,1996

 

Notam x

 

 

 

II.Concursurile scolare

 

1.Gorj2001-faza locala

 

Sa se arate ca daca x,,y,zare loc inegalitatea:

 

Logxyz+logyxz+logzxy

 

Logxyz+logyxz+logzxy=(logxy+logyx)+(logxz+logzx)+(logyz+logzy)

Daca x,y

Logxyz+logyxz+logzxy are loc doar cand x=y=z.

 

2.Bacau2001-faza locala

 

Sa se calculeze:

=E

Notam a=log212

Log224=log212*2=log212+log22=a+1

Log962=

Log2192=log212*16=log212+log216=a+4

Log122=

(a+1)(a+3)-a(a+4)=3

 

 

 

 

 

 

3.Cluj2001-faza locala

 

Sa se rezolve ecuatia:

unde este partea intreaga a numarului .

Cos Z

I.

II.

III.

S3=