Matrici

(Operatii cu matrici, Inversa unei matrici, Ecuatii matriceale)

1.1. Despre matrici

Definitie. Se numeste matrice cu m linii si n coloane sau de tip un tablou cu m linii si n coloane

matrici

ale cărui elemente matricisunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează şimatrici undematricişimatrici. Pentru elementul matrici, indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat.

Mulţimea matricilor de tip matricicu elemente numere reale se notează prin matrici. Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile matrici,matrici<,matrici.

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul matrici(deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma

matrici.

2) O matrice de tipul matrici(cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma

matrici.

3) O matrice de tipmatricise numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O

matrici.

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.

matrici.

Sistemul de elemente matricireprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente matricise numeşte urma matricii A notată Tr(A)matrici. Sistemul de elemente matricireprezintă diagonala secundară a matricii A.

Mulţimea acestor matrici se noteazămatrici. Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind

matrici

şi se numeşte matricea unitate(pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar in rest sunt egale cu 0).

 

Operaţii cu matrici

Egalitatea a doua matrici

Definiţie. Fiematrici,matricimatricimatrici. Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem A = B dacă =matrici, matricimatrici,matricimatrici.

 

Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel incăt să avem egalitatea de matrici

matrici.

R. Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:

matriciRezolvand acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3.

 

Adunarea matricilor

Definiţie. Fiematrici,matrici,matricimatricimatrici. Matricea C se numeşte suma matricilor A, B dacă:matrici=matrici+matrici,matricimatrici,matricimatrici.

Observaţii

1) lang=RO style='font-family:Arial'> Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, Bmatricimatrici.

2) Explicit adunarea matricilor A, B inseamnă:

matrici+matrici=matrici.

 

Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:

1. matrici;

2. matrici

R.1.Avem

2. Avem

matrici.

 

Proprietăţi ale adunării matricilor

matrici(Asociativitatea adunării).Adunarea matricilor este asociativă, adică:

, A, B, C .

matrici(Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:

matrici,matriciA, Bmatricimatrici.

matrici(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică matricimatricimatriciastfel incatA +matrici= A, matriciAmatrici.

matrici(Elemente opuse). Orice matrice Aare un opus, notatmatrici, astfel incat

matrici.

 

Inmulţirea cu scalari a matricilor

Definiţie. Fie matricimatriciC şi A =matricimatricimatrici. Se numeşte produsul dintre scalarul matricimatriciC şi matricea A, matricea notată matricimatricimatricidefinită prin matrici=matrici.

Obs.: A inmulţi o matrice cu un scalar revine la a inmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.

Decimatrici=matrici.

Exemplu Fie matrici. Atunci 6A = matrici.

Proprietăţi ale inmulţirii matricilor cu scalari

matricimatrici, matricimatricimatriciC,matriciAmatricimatrici;

matricimatrici,matricimatricimatriciC,matriciA,Bmatricimatrici;

matricimatrici,matricimatricimatriciC,matriciAmatricimatrici;

matricimatrici,1matriciC,matriciAmatricimatrici;

 

Inmulţirea matricilor

Definiţie. Fie A =matricimatricimatrici, B =matricimatricimatriciProdusul dintre matricile A şi B (in aceasta ordine), notat AB este matricea C =matricimatricimatrici definită prin

matrici, matricimatrici,matricimatrici.

 

Observaţii

1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua intotdeauna decat dacă Amatricimatrici, Bmatricimatrici, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, cand se obţine o matrice C = ABmatricimatrici.

2) Dacă matricile sunt pătratice A, Bmatricimatrici atunci are sens intotdeauna atat AB cat şi BA, iar, ?n general, ABmatriciBA adică inmulţirea matricilor nu este comutativă.

 

Proprietăţi ale inmulţirii matricilor

matrici(Asociativitatea inmulţirii). Inmulţirea matricilor este asociativă, adică

matrici,matriciAmatricimatrici,matriciBmatricimatrici,matriciCmatricimatrici.

matrici(Distributivitatea inmulţirii in raport cu adunarea). Inmulţirea matricilor este distributivă in raport cu adunarea matricilor, adică

matricimatriciA, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi inmulţire.

matriciDacămatricimatricimatricieste matricea unitate, atunci

matricimatriciAmatricimatrici.

Se spune cămatricieste element neutru in raport cu operaţia de inmulţire a matricilor.

 

Puterile unei matrici

Definiţie. Fie Amatricimatrici. Atuncimatrici, matrici, matrici,..., matrici,matricinmatricimatrici. (Convenim matrici).

 

INVERSA UNEI MATRICI

 

Definiţie. Fie Amatricimatrici. Matricea A se numeşte inversabilă dacă există matricea Bmatricimatrici cu proprietatea că matrici, matricifiind matricea unitate.

Matricea B din definiţie se numeşte inversa matricii A şi se notează matrici. Deci matrici.

 

Teoremă. Matricea Amatricimatrici este inversabilă dacă şi numai dacă matriciO astfel de matrice se numeşte nesingulară.

 

Construcţia lui matricipresupune următorii paşi:

 

Pasul 1. (Construcţia transpusei)

Dacă matrici,

atunci construim transpusa lui A matrici.

 

Pasul 2. (Construcţia adjunctei)

Matricea matrici

obţinută din *, inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A.

 

Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că:

matriciiar de aici matrici

 

Ultimele egalităţi arată că matrici