Multimi

Definitia multimii: Prin multime intelegem o colectie de obiecte bine determinate si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact aceleasi elemente.

De exemplu, o multime poate fi data prin:

(1) A = {a, b, c, ...} - punand in evidenta elementele sale,

(2) B = {b: b are proprietatea P} - punand in evidenta o proprietate caracteristica a elementelor multimii B.

Faptul ca a este un element al multimii A se noteaza prin a multimi A, am utilizat aici semnul "multimi" de apartenenta. Contrariul acestuia este semnul "multimi" de neapartenenta, simbolizand ca un element nu apartine unei multimi. Daca A este o parte (submultime) a multimii B, simbolizam aceasta prin semnul de incluziune " multimi" si anume scriem A B. Utilizand semnele "multimi" (implica) si "multimi" (echivalent) putem scrie:

(3) (A multimi B) (x A multimi x multimi B)

Urmatoarele operatii asupra multimilor sunt foarte des intalnite:

(4) Reuniunea: A multimi B = {x: x A sau x multimi B};

(5) Intersectia: A multimi B = {x: x A si x B};

(6) Diferenta: A - B = (A \ B) = {x: x multimi A si x B};

(7) Complementara: CAB= (A \ B) (aici am presupus ca B A);

(8) Produsul cartezian: A x B = {(a, b): a A, b B};

Ca de obicei semnul " = " indica egalitatea multimilor intre care este pus si vom avea:

(9) (A = B) (A B si B A);

Daca presupunem ca A si B sunt submultimi de puncte ale planului, putem reprezenta operatiile mentionate mai sus astfel:

Multimea fara nici un element o notam cu si se numeste multimea vida. Pentru o multime familia submultimilor acesteia formeaza o noua multime pe care o notam cu P(A) si care se numeste familia partilor lui A.

In continuare consideram o multime totala E si celelalte multimi care apar le consideram ca fiind parti ale lui E. Referitor la operatiile cu multimi definite mai sus amintim cateva proprietati mai importante:

(11) CAA= ; CA= A; CE(CEA)=A;

(12) A B = B A (comutativitatea reuniunii);

(13) (A B) C = A (B C) (asociativitatea reuniunii);

(14) A = A, A E = E;

(15) A B = B A (comutativitatea intersectiei);

(16) (A B) C = A (B C) (asociativitatea intersectiei);

(17) A = , A E = A;

(18) CE (A B) = CEA CEB;

(19) CE (A B) = CEA CEB.

(18) si (19) sunt cunoscute sub numele de relatiile lui De Morgan.

(20) A x multimi = ; A x B este in general diferit de B x A, adica produsul cartezian nu este comutativ.

(21) (A multimi B) multimi C = (A C) multimi (B C) (distributivitatea intersectiei fata de reuniune)

(22) (A multimi B) multimi C = (A multimi C) multimi (B C) (distributivitatea reuniunii fata de intersectie)

(23) (A multimi B) x C = (A x C) multimi (B x C);

(A multimi B) x C = (A x C) multimi (B x C) (distributivitatea produsului cartezian fata de reuniune, respectiv intersectie).