Numere intregi

Numerele intregi sunt o multime compusa din numerele naturale {1, 2, 3, 4,...;}, impreuna cu negativele acestora {-1, -2, -3, -4, ...} si cu numarul zero. Multimea numerelor intregi se noteaza de obicei cu Z (Z ingrosat) sau numere intregi , care provine de la cuvantul german Zahlen, "numere".
Multimea numerelor intregi este total ordonata intr-o succesiune (sir): ... < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 ... In acest sir este vorba de numere pozitive {1, 2, 3, ...}, numere nenegative {0, 1, 2, 3, ... }, numere negative {... -3, -2, -1}, numere nepozitive {... -3, -2, -1, 0}. Ordonarea numerelor intregi intr-o succesiune face posibila compararea lor, unul cu celalalt, doua cate doua.
Numerele intregi se intalnesc in practica peste tot, de exemplu la exprimarea temperaturilor (3 K; -12 gradeC), masurarea altitudinii fata de nivelul marii (2.544 m; -312 m = 312 m sub nivelul marii) si multe altele.
Daca numarul este precedat de simbolul "+" se spune ca numarul intreg este pozitiv, iar daca este precedat de simbolul "-" se spune ca numarul intreg este negativ. De obicei semnul "+" din fata numerelor intregi pozitive se poate omite la scris. Simbolurile "+" si "-" se mai numesc si semne (aritmetice).

Valoarea absoluta a unui numar intreg, numita si modul, reprezinta distanta de la origine pana la pozitia acestuia pe axa numerelor. Modulul numarului x se noteaza: |x| . Modulul unui numar este numarul luat fara semn, care este intotdeauna pozitiv. Doua numere intregi diferite care au acelasi modul se numesc numere "opuse". Exemple: -7 si 7; 3 si -3; -1 si 1; |-1|=1, |-1000000|=1000000, |3|=3. Valoarea absoluta sau modulul unui numar pozitiv este numarul insusi, iar valoarea absoluta a unui numar negativ este opusul lui. Dintre doua numere intregi, pe axa numerelor, intotdeauna cel mai mic se afla la stanga.

Axa numerelor intregi
numere intregi
Punctul O este numit origine; Distanta de la un punct la punctul imediat urmator este o unitate de masura; toate punctele din dreapta originii sunt pozitive, iar din stanga originii, negative.

OPERATII CU NUMERE INTREGI

ADUNAREA NUMERELOR INTREGI
a) 2 Numere care au acelasi semn: se aduna modulele numerelor iar rezultatul are semnul lor comun.
b) 2 Numere care au semne diferite: se scad modulele lor si se da semnul numarului a carui modul este mai mare.
Observatie:suma a doua numere intregi opuse este 0.
Proprietatile adunarii:
a) comutativitatea: numere intregi
b) element neutru:numere intregi
c) asociativitatea:numere intregi
d) numere intregi

SCADEREA NUMERELOR INTREGI
Pentru a scadea 2 numere intregi adunam la descazut opusul scazatorului.
Pentru a usura adunarea si scaderea numerelor intregi renuntam la parantezele numerelor.
Exemplu: (-31)-(-14) = -31+14 = -17;
+7-(+10) = 7-10 = -3; -7-(-10) = -7+10 = 3

INMULTIREA SI IMPARTIREA NUMERELOR INTREGI
a) 2 Numere intregi care au acelasi semn: rezultatul la inmultire sau impartire va avea semnul (+)
b) 2 Numere care au semne diferite: rezultatul la inmultire sau impartire va avea semnul (-)
Proprietatile inmultirii:
a) comutativitatea: numere intregi
b) asociativitatea: numere intregi
c) element neutru: numere intregi
d) distributivitatea inmultirii fata de adunare si scadere:
                 numere intregi
Generalizare: produsul a n numere intregi negative este pozitiv daca n este par si este negativ daca n este impar.

RIDICAREA LA PUTERE (EXPONENT NUMAR NATURAL)
numere intregi

ORDINEA EFECTUARII OPERATIILOR SI FOLOSIREA PARANTEZELOR.
Regulile de la numere naturale sunt aceleasi si in cazul numerelor intregi.
Daca intr-un exercitiu apar operatii de ordine diferite, se efectueaza mai intai ridicarea la putere, apoi inmultirea si impartirea si, in final, adunarea si scaderea.
Daca in exercitiu apar paranteze, se efectueaza mai intai operatiile din paranteze, respectandu-se ordinea efectuarii acestora.