Numere naturale

In matematica, numerele naturale sunt numerele intregi strict pozitive (1, 2, 3, ...).
In alte contexte, de exemplu in teoria multimilor sau in teoria grupurilor, 0 este primul numar natural. Multimea tuturor numerelor naturale se noteaza de obicei cu N (N ingrosat) sau .
numere naturale
numere naturale - numere naturale
numere naturale - intregi
numere naturale - rationale
numere naturale - reale
numere naturale - complexe

Operatii cu numere naturale

ADUNAREA
Adunarea este suma a doua sau mai multe numere naturale.
45+36+15+20=116
termen+termen+...+termen = suma
Proprietatile adunarii
1. Comutativa : a+b=b+a
2. Asociativa : (a+b)+c=a+(b+c)
3. Element neutru: a+0=a; 0 este element neutru pentru operatia de adunare.
Folosind proprietatile adunarii putem efectua mai repede calculele.
Matematicianul Gauss a folosit proprietatile adunarii pentru a calcula o suma de numere naturale consecutive.
Exemplu:
1. 1+2+3+4+....96+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+...(50+51)=101+101+101+...101=101 50=
=5050
2. 1+2+3+4+....96+97+98+99=(1+99)+(2+98)+(3+97)+(4+96)++....(49+51)+50=100+100+100+100+...100+50=
=100 49+50=4900+50=4950
Observam ca in aceasta a doua suma avem un numar impar de termeni, deci avem un termen in mijloc care ramane singur.
Observatie.
1. Numarul de termeni ai unei sume este: u-p+1 unde u este ultimul termen, iar p este primul termen.
2. Daca un termen al unei sume are n cifre, iar celalaltare cel mult n cifre, suma lor are cel putin n cifre si cel mult n+1 cifre.

SCADEREA
Scaderea este diferenta a doua numere naturale.
24-16=16
descazut - scazator = rest sau diferenta
Scaderea este operatia inversa adunarii.
Observatii.
1. Intr-o scadere in care scazatorul este mai mare decat descazutul, rezultatul nu este un numar natural.
47-76=
2. Pentru a scadea o suma dintr-un numar, scadem fiecare termen al sumei din numarul dat.
40-(3+14+5)=40-3-14-5=37-14-5=23-5=18
a-(b+c+d)=a-b-c-d
3. Ordinul de marime al diferentei este cel mult egal cu ordinul de marime al descazutului.

INMULTIREA (produsul)
Inmultirea inseamna adunarea repetata a aceluiasi numar.
15+15+15+15+15+15=15 6=15 6=90
15 * 6 = 90
factori produs
Proprietatile inmultirii.
1.Comutativa a x b=b x a
2.Asociativa (a x b)x c=a x(b x c)
3.Element neutru a x 1=1 x a=a
4. Distributiva fata de adunare si scadere
a (b+c)=a b+a c
a (b-c)=a b-a c
(b+c) a=b a+c a
(b-c) a=b a-c a
FACTOR COMUN
a x b+a x c=a (b+c)
a x b-a x c=a (b-c)
Deoarece factorul a apare in toate produsele spunem ca a este factor comun. Egalitatile de mai sus exprima scoaterea factorului comun.
Observatii
1. Egalitatea si inegalitatea numerelor naturale se pastreaza daca se inmultesc ambii membrii cu acelesi numar natural, diferit de 0.
2. Inmultirea este o operatie de ordinul II, se efectueaza inaintea adunarii si scaderii.

IMPARTIREA(IMPARTIREA CU REST)
Teorema impartirii cu rest d=i c+r cu r
- d este deimpartitul
- i este impartitorul
- c este catul
- r este restul
Observatii
1. Impartirea la 0 nu are sens.
2. La impartirea unui numar natural la 2 restul poate fi 0 sau 1. Daca n=2k, restul este 0, iar daca n=2k+1 restul este 1, unde k este catul.
3. La impartirea unui numar natural la 3, restul poate fi 0, 1, 2. Daca n=3k restul este 0, daca n=3k+1 restul este 1 si daca n=3k+2 restul este 2, iar k este catul.
4. Daca restul unei impartiri este 0 atunci impartirea este exacta.
5. Impartirea ca si inmultirea este o operatie de ordinul II.
6. Intr- un exercitiu fara paranteze se efectueaza intai operatiile de ordinul II.
7. Daca intr-un exercitiu avem numai operatii de ordinul II si nu avem paranteze, atunci operatiile se efectueaza in ordinea in care sunt scrise.
8. Egalitatea si inegalitatea numerelor naturale se pastreaza daca se impart exact mambrii acestora cu acelasi numar natural diferit de 0.

RIDICAREA LA PUTERE (EXPONENT NUMAR NATURAL)
Ridicarea la putere este o inmultire repetata.
Exemplu: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3=36 ; 3 se numeste baza iar 6 este exponent.
Daca avem in general baza a si exponentul n, puterea a n-a a numarului a este produsul a n factori egali cu numarul a. a x a x a x...x a=an - cu a si n numere naturale.
Observatii
1. a1=a
2. a0=1
3. 0n=0
4. 1n=1
5. Exponentul arata de cate ori se repeta baza in produsul prin care se calculeaza puterea.
6. Ridicarea la putere este o operatie de ordinul al treilea, adica in lipsa parantezelor, se efectueaza inaintea celorlalte operatii.
Reguli de calcul cu puteri.
i) am x an=am+n
ii) am:an=am-n cu m>n
iii) (am)n=amn
iv) (a x b)n=an x bn

Patrate perfecte.
Puterea a 2-a a unui numar natural se mai numeste si patratul acelui numar.
Exemplu: 62 se citeste "6 la puterea a doua" sau "6 la patrat".
Numarul natural care este patratul altui numar natural se numeste patrat perfect.
Exemple: 4,9,16,25,36 etc.
a2k este patrat perfect, oricare ar fi a si k numere naturale.
Patratul oricarui numar natural se poate termina cu una din cifrele 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nu intotdeauna numerele care se termina in aceste cifre sunt patrate perfecte. De exemplu: 11; 14; 39 etc.
Un numar care se termina in una din cifrele 2, 3, 7, sau 8 nu este patrat perfect.
Pentru a arata ca un numar nu este patrat perfect mai putem arata ca el este cuprins intre doua patrate de numere consecutive. De exemplu: 75 nu este patrat perfect, pentru ca 82=64<75<81=92