Numere rationale

In matematica, un numar rational (sau in limbaj mai putin riguros, o fractie) este un numar real care se poate exprima drept raportul a doua numere intregi, de obicei scris sub forma de fractie ordinara: a/b, unde b este nenul. Numele "rational" nu provine de la "ratiune"="gandire", ci de la "ratie"="raport".
Orice numar rational se poate scrie intr-o infinitate de forme, de exemplu 3/6 = 2/4 = 1/2 =...
Forma cea mai simpla este cea in care a si b nu au divizori comuni; toate numerele rationale dispun de o asemenea forma.
Forma zecimala a unui numar rational este intr-un fel sau altul periodica (daca expansiunea este finita, partea periodica o formeaza zerourile implicite de dupa ultima zecimala nenula). Aceasta este adevarat pentru orice baza intreaga mai mare decat 1. Reciproc, daca expansiunea unui numar intr-o baza este periodica, atunci expansiunea sa in orice baza este periodica, si in plus numarul este rational. Multimea tuturor numerelor rationale se noteaza Q, sau, in varianta ingrosata, numere rationale.

Egalitatea numerelor rationale.
Doua numere rationale notat cu m/n si a/b sunt egale daca fractiile m/n si a/b sunt fractii echivalente, adica daca m*b=n*a.
Relatia de egalitate in domeniul numerelor rationale are proprietatile :
1. reflexivitatea: a=a
2. simetria: a=b atunci b=a
3. tranzitivitatea: a=b si b=c atunci a=c
4. Relatia de egalitate in domeniul numerelor rationale avand proprietatile de reflexivitate, simetrie, tranzitivitate este o realtie de echivalenta.
Operatii cu numere rationale

Adunarea
Suma a doua numere rationale m/n si a/b este data de fractia (mb+ma)/nb.
Proprietati:
1. comutativitatea : a+b=b+a
2. asociativitatea : (a+b)+c=a+(b+c)
3. element neutru : a+0=0+a=a
4. elementul opus : a+(-a)=(-a)+a=0

Diferenta
Oricare ar fi numerele rationale a si b avem : a-b=a+(-b).
Altfel, daca dorim a scadea dintr-un numar rational a un alt numar rational b, adunam la numarul rational a opusul numarului rational (-b).
Operatia de scadere se poate efectua intre orice numere rationale.
Oricare ar fi a numar rationsl avem : a-0=a respectiv 0-a=-a.
Oricare ar fi a,b,c numere rationale daca a=b avem : a-c=b-c.
Oricare ar fi a,b,c,d numere rationale, daca a=b si c=d avem : a-c=b-d.

Produsul
Prin produsul a doua numere rationale m/n si a/b se obtine un al treilea numar rational notat cu c astfel c=(m*a)/(n*b).
Proprietati:
1. comutativitate: a*b=b*a
2. asociativitate: (a*b)*c=a*(b*c)
3. distribuitivitate: a*(b+c)=a*b+a*c
4. element neutru: a*1=1*a=a
5. element invers: a*(1/a)=(1/a)*a=1
Oricare ar fi a rational avem: a*(-1)=(-1)*a=-a
Oricare ar fi a,b,c rationale: a=b atunci a*c=b*c
Oricare ar fi a,b,c,d rationale: a=b, c=d atunci a*c=b*d

Impartirea
Prin catul a doua numere rationale m/n si a/b cu a,b,n diferite de 0 se obtine un al treilea numar rational notat c astfel:
c=(m/n)/(a/b)=(m/n)*(a/b)
deci se inmulteste deimparitul cu inversul impartitorului.
Proprietati:
1. a:1=a/1=a
2. 1:a=1/a=a(-1)
3. a:(-1)=a/(-1)=-a
4. (-1)/a=(-1)/a=-a(-1)
5. 0:a=0/a=0
6. a=b atunci a:c=b:c sau a/c=b/c
7. a=b, c=d atunci a:c=b:d sau a/c=b/d
Daca a,b sunt doua numere rationale pozitive rin media armonica intelegem numarul m, obtinut astfel:
m=2/[(1/a)+(1/b)]=(2ab)/(a+b)