Polinoame

Definirea polinoamelor

Fie C[X] multimea sirurilor(infinite) de numere(complexe) , care au numai un numar finit de termeni ai,nenuli, adica; exista; un numar natural m, astfel incat ai=0, pentru orice i>m.

De exemplu, sirurile ; sunt siruri infinite care au un numar finit de termeni nenuli. Sirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste siruri sunt elemente din multimea C[X].

Adunarea si inmultirea polinoamelor

Definim pe multimea C[X] doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

1. Adunarea polinoamelor: Fie , doua elemente din multimea C[X]; atunci definim:

;  

Proprietatiile adunarii polinoamelor

(C[X],+) se numeste grup abelian

Asociativitatea

;   C[X]

Intr-adevar, daca; ,;   si;   atunci avem si deci Analog, obţinem că Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice

Comutativitatea C[X]

Intr-adevevar, daca; si , avem , Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice Deci .

Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,,,,) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca; oricare ar fi C[X],avem:

4. Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adica; oricare ar fi C[X], exista; un polinom, notat , astfel incat: De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este

Inmultirea polinoamelor:

Fie ';  

Atunci definim:

Proprietatile inmultirii:

Asociativitatea

Oricare ar fi C[X], avem:

Comutativitatea Oricare ar fi C[X],avem: Intr-adevar, daca , atunci notand si , avem si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem cr=dr, pentru orice . Deci

Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,,,) este element neutru pentru inmultirea polinoamelor, adica oricare ar fi C[X], avem:

Elemente inversabile *C[X] este inversabil daca exista ,astfel incat:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: , a 0.

Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele C[X],are loc relatia:

Forma algebrica a polinoamelor

Notatia introdusa pentru polinoame nu este prea comoda in operatiile cu polinoame. De aceea vom folosi alta scriere.

Daca consideram , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notatiile:

Exemplu:

Atunci:

Gradul unui polinom

Fie . Se numeste gradul lui , notat prin , cel mai mare numar natural n astfel incat

Exemple:

1. Polinomul are gradul 1;

2. Polinomul are gradul 5;

3. Polinomul constant , unde , are gradul 0. Referitor la gradul sumei si produsului a doua polinoame si , au loc urmatoarele relatii:

i) ;

ii)