Exerciţii rezolvate cu ecuaţii exponenţiale

Enunţuri

Ex.1.

 

Ex.2.

 

Ex.3.

 

 

 

Rezolvări

Ex.1.

Condiţiile de existenţă pentru ecuaţia dată sunt .

Pentru rezolvare avem:

Facem notaţia  şi rezultă ecuaţia de gradul doi  care are soluţiile şi .

Revenind la notaţie obţinem x=1.

Ex.2.

.Facem notaţia şi obţinem .

Revenind la notaţie obţinem soluţia .

Ex.3.

Ecuaţia dată se scrie astfel: .Dacă facem notaţia obţinem ecuaţia

 care are soluţiile şi .

Revenind la substituţie obţinem  şi .

 

 

Exerciţii rezolvate cu ecuaţii iraţionale

Enunţuri

Ex.1.

 

Ex.2.

 

Ex.3.

 

Ex.4.

 

Ex.5.

 

 

 

Rezolvări

Ex.1.

Punem condiţii de existenţă .

Pentru rezolvare ridicăm la pătrat ambii membri şi obţinem care are soluţiile şi .

Verificând in ecuaţia iniţială se obţine că singura soluţie bună este .

Ex.2.

care are soluţiile  şi .

Ex.3.

Condiția de existență :

Ex.4.

 care are rădăcinile şi .

După verificare obţinem că toate rădăcinile aflate sunt bune.

(Reamintim că in cazul ecuaţiilor iraţionale , verificarea soluţiilor este etapă obligatorie!)

Ex.5.

Punem condiţii de existenţă:

Pentru rezolvare ridicăm la pătrat fiecare membru al ecuaţiei şi avem:

Facem verificarea soluţiei obţinute (etapă obligatorie la ecuaţiile iraţionale!)

 adevărat.

 

 

Exerciţii rezolvate cu logaritmi

Enunţuri

Ex.1.

 

Ex.2.

 

Ex.3.

 

Ex.4.

 

Ex.5.

 

Ex.6.

 

 

Rezolvări:

Ex.1.

Ex.2.

 şi de aici rezultă cerinţa.

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5.

 deci egalitatea din enunţ este adevărată.

Ex.6.

 

 

 


 

Exerciţii rezolvate cu numere complexe

Enunţuri

Ex.1.

 

Ex.2.

 

Ex.3.

 

Ex.4.

 

Ex.5.

 

Ex.6.

 

Ex.7.

 

Ex.8.

 

 

 

Rezolvări

Ex.1.

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5.

 deci ecuaţia are două rădăcini complexe conjugate.

Ex.6.

Mai intai observă că

 

Ex.7.

    .

Ex.8.

 

Exerciţii rezolvate cu permutări,aranjamente,combinări

Ex.1.

 

Ex.2.

 

Ex.3.

 

Ex.4.

 

Ex.5.

 

Ex.6.

 

Ex.7.

 

Ex.8.

 

Ex.9.

 

 

Rezolvări

Ex.1.

Ex.2.

 iar

.

Ex.3.

 şi .

n+n=10 deci n=5

Ex.4.

N.

Ex.5.

 

Ex.6.

Se pot forma numere.

Ex.7.

.

Ex.8.

 iar .Evident avem .

Ex.9.

Numărul cerut este egal cu numărul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii M.

Acesta este .