Exerciţii rezolvate cu polinoame

Enunţuri

Ex.1.

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4.

Se consideră  şi polinomul

Ex.5.

Ex.6.

 

Rezolvări:

Ex.1.

a) este forma algebrică a polinomului h.

b)Prin identificarea coeficienţilor obţinem că polinoamele f şi h sunt egale pentru şi .

c)Ecuaţia dată se scrie sub forma

    Facem substituţia şi obţinem ecuaţia

    Folosind punctual b) obţinem .

     are soluţiile şi

     are soluţiile  şi .

    Revenind la notaţia făcută avem şi .

Ex.2.

a)

    .

b)

     c.c.t.d.

c)

   

    Pentru ecuaţia  se incearcă toate elementele mulţimii şi se mai obţin soluţiile  şi 

    .

   In concluzie ecuaţia dată are soluţiile ,şi .

Ex.3.

a)Polinoamele f şi g sunt egale dacă şi numai dacă avem:

    .

b)Pentru  avem .

   

    .

c)Deoarece şi  rezultă că rădăcinile ecuaţiei  sunt  şi .

Ex.4.

a)este mulţime finită deci le putem verifica pe toate:

   

b)

c)Fie .Tripletul este corp comutativ (deoarece 7 este prim) deci există .

     deci f este divizibil prin  adică f este reductibil in .

    Pentru  avem  deci f este reductibil şi in acest caz.

Ex.5.

a)

   b) .

   c) Din b) rezultă că

de unde  cu soluţia  şi care nu are soluţii în .

În concluzie,polinomul f are o singură soluţie în  şi anume .

Ex.6.

a)       Aplicăm relațiile lui Viete pentru cele două polinoame:

b)       Folosim teorema împărțirii cu rest și obținem câtul  și restul

c)     Rădăcinile ale polinomului sunt . Rezultă

 

 

 

Exerciţii rezolvate cu legi de compoziţie

Enunţuri

Ex.1.

Pe mulţimea numerelor reale  definim operaţia , oricare ar fi .

a)Verificaţi identitatea , oricare ar fi .

b)Demonstraţi că , oricare ar fi .

c)Arătaţi că legea de compoziţie  este asociativă.

d)Calculaţi .

e)Rezolvaţi in ecuaţia .

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5.

Pentru a,b din mulţimea se defineşte operaţia .

 

Rezolvări:

Ex.1.

a) şi identitatea din cerinţă este demonstrată.

b).

c)Legea de compoziţie  este asociativă dacă .

Din cele două relaţii de mai sus rezultă că legea  este asociativă.

d)  conform punctului b).

e)

Ecuaţia dată devine .

Cum rezultă că .

Ex.2.

2.a)   c.c.t.d.

b) care are soluţiile şi .

c)Observăm că

    .

Ex.3.

2.a)   c.c.t.d.

b).

c) mai observăm că şi .

Observaţi in acea compunere rolul important al lui 2!

Utilizand proprietatea de asociativitate a operaţiei precum şi faptul că şi  se  

obţine că E=2.

.

Ex.4.

a)e este element neutru dacă .

b)

Ecuaţia dată devine:

(am folosit formula .

Obţinem ecuaţia  care are soluţiile .

c).

Observăm că dacă luăm  şi  vom obţine

Din obţinem iar din obţinem .

Evident a şi b sunt numere raţionale .

Ex.5.

a)Fie

b)Legea de compoziţie * este asociativă dacă   deci legea este asociativă.

c)

Demonstrăm prin inducţie că  este adevărată.

Etapa verificării:

Pentru n=1 avem    este adevărată.

Etapa demonstraţiei:

Presupunem P(k) adevărată şi demonstrăm că P(k+1) este adevărată.

 este adevărată.

 trebuie demonstrată.

   

c.c.t.d.

Egalitatea  devine

.Notăm şi obţinem ecuaţia de gradul doi

care are soluţiile şi .

Revenind la notaţie , obţinem sau