Exerciţii rezolvate cu funcţia de gradul doi

Enunţuri

Ex.1.

Ex.2.

ştiind că valoarea maximă a funcţiei este egală cu 5.

Ex.3.

Ex.4.

Ex.5.

Ex.6.

Ex.7.

Ex.8.

intersectează axa Ox in două puncte situate la distanţa 3.

 

 

Rezolvări

Ex.1.

.

Ex.2.

Punem condiţia

Valoarea maximă a funcţiei este .

Ex.3.

Valoarea minimă a funcţiei de gradul doi este .

Ex.4.

Varful parabolei este  adică in cazul nostru .

Cum rezultă că varful este situat in cadranul III.

Ex.5.

Luăm

.

Ex.6.

Valoarea maxima a functiei este

Ex.7.

 şi mai departe .

Ex.8.

Punem condiţiile:

 

Se obţin valorile şi .

 

 

 

 

 

Exerciţii rezolvate cu progresii aritmetice

Enunţuri

Ex.1.

Să se demonstreze că pentru orice numerele  şi  sunt termeni consecutivi intr-o progresie aritmetică.

Ex.2.

Ex.3.

Ex.4.

Să se determine valorile reale pozitive ale numărului x,ştiind că şi sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Ex.5.

Ex.6.

 

 

Rezolvări:

Ex.1.

  deci numerele date sunt in progresie aritmetică.

Ex.2.

Sirul este o progresie aritmetică de raţie egală cu 6.

Ex.3.

Raţia este

.

Ex.4.

Punem condiţia ca termenul din mijloc să fie media aritmetică intre termenii alăturaţi.

.

Ex.5.

Observăm că x are forma 4k+1.

Egalitatea dată devine

Numerele  formează o progresie aritmetică cu primul termen 1 şi  raţia 4.

In total sunt k+1 termeni care se adună.

.

Se obţine ecuaţia care are singura soluţie acceptabilă k=10.

Pentru k=10 obţinem x=41.

Ex.6.

Observăm că x are forma

Ecuaţia dată devine:

Avem mai sus suma a k+1 termeni ai unei progresii aritmetice cu raţia r=2 primul termen egal cu 1.

.