Grafice de functii

Funcţiile reale


Funcţiile reale.

Noţiuni introductive

 

Fie E şi F două mulţimi. Spunem că s-a definit o funcţie pe E cu valori în F dacă fiecărui element xÎE i s-a pus în corespondenţă un element yÎF şi numai unul. Se numeşte funcţie ansamblul format din mulţimile E şi F şi din corespondenţa de la elementele lui E la elementele lui F. Mulţimea E se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei, iar mulţimea F se numeşte mulţimea în care funcţia ia valori.

O funcţie se poate nota astfel: f:E→F. Un element generic x din domeniul de definiţie E se numeşte argument sau o variabilă a funcţiei f. elementul din F care corespunde unui element xÎE prin funcţia f se notează f(x) şi se numeşte imaginea lui x prin f sau valoarea funcţiei f în x.

 

  Trasarea graficului unei funcţii

Pentru a putea trasa graficul unei funcţii, se procedează în felul următor:

1)     Se determină domeniul maxim de definiţie:

-         în cazul expresiilor raţionale, numitorul funcţiei trebuie să fie diferit de zero;

-         cantitatea de sub un radical cu indice par trebuie să fie cel puţin zero;

-         baza unei funcţii exponenţiale trebuie să fie strict pozitivă;

-         funcţiile arcsinus şi arccosinus trebuie să fie definite pe [-1,1];

-         numărul, căruia i se aplică logaritmul, trebuie să fie strict pozitiv, iar baza logaritmului trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de 1.

2)     Se explicitează funcţiilor: modulul, maxim, minim, signatură, partea întreagă şi partea zecimală (dacă funcţia le conţine).

3)     Se determină paritatea sau imparitatea funcţiei: dacă funcţia este pară, f(x)=f(-x), atunci graficul funcţiei este simetric faţă de axa ordonatelor, dacă funcţia este impară, f(x)=-f(x), atunci graficul funcţiei este simetric faţă de originea axelor; deci este suficient ca trasarea graficului să fie efectuată pe semiaxa Ox pozitivă, apoi să se simetrizeze. Graficul unei funţii f este simetric faţă de dreapta x=a dacă f(x)=f(2a-x) I este simetric faţă de punctul (a,0) dacă f(x)=-f(2a-x).

4)     Se determină perioada T a funcţiei trigonometrice şi se trasează fraficului pe intervalul [0,T] intersectat cu domeniul de definiţie, apoi extensia sistemului (a detaliului de grafic) pe toată axa absciselor.

5)     Se determină intersecţia cu axele de coordonate:

a)   y=0 Þ f(x)=0, iar dacă soluţiile ecuaţiei f(x)=0 există, atunci acestea reprezintă abscisele punctelor în care graficul intersectează axa Ox;

x=0 Þ y=f(0) Þ punctul în care graficul intersectează axa ordonatelor.

b)  Dacă domeniul de definiţie este nemajorat, atunci se cercetează limita funcţiei când x → ¥, iar dacă domeniul de definiţie este neminorat, atunci se cercetează limita funcţiei când x → -¥.

6)     Se determină asimptotele:

a) verticale. Asimptotele verticale se definesc pentru funcţii nemărginite, chiar dacă sunt definite pe mulţimi mărginite. Ele trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcţiei, adică în punctele în care funcţia f nu este definită.

Observaţie: dacă dreapta x=x0 este asimptotă verticală la graficul funcţiei f, atunci distanţa dintre grafic şi asimptotă, măsurată pe orizontală, descreşte necontenit când punctul de pe grafic se depărtează necontenit;

b) oblice. Se caută pentru funcţii definite pe mulţimi nemărginite, chiar dacă funcţiile sunt mărginite.


Spunem că dreapta y=mx+n este asimptotă oblică la ramura spre +¥ a graficului, dacă:

 

Dacă mulţimea E, pe care este definită funcţia, este nemărginită la dreapta, atunci +¥ este un punct de acumulare al mulţimii E.

Dacă mulţimea E, pe care este definită funcţia, este nemărginită la stânga, atunci -¥ este un punct de acumulare al mulţimii E.


Spunem că dreapta y=m1x+n1 este asimptotă oblică la ramura spre -¥ a graficului, dacă:


Dacă dreapta y=mx+n este asimptotă la ±¥, atunci coeficientul unghiular m şi ordonata la origine n, verifică egalităţile:

Observaţii:

i)                   dacă există m şi este finit, dar n nu există sau e infinit, graficul funcţiei nu are asimptotă oblică la ±¥;

ii)                dacă nu există m sau e infinit, graficul funcţiei nu are asimptotă oblică la ±¥.

c) orizontale. Dacă există şi este finită, atunci dreapta y=a este asimptotă la ±¥, paralelă cu axa Ox.

Observaţii:

i)                   Dacă graficul are asimptotă orizontală, atunci el nu mai poate avea şi asimptotă la ±¥ şi reciproc;

ii)                În cazul funcţiilor periodice, un grfic poate avea o infinitate de asimptote verticale;

iii)              Pot să existe asimptote orizontale spre ±¥ şi oblice spre ±¥;

iv)              În cazul funcţiilor circulare inverse, grficul poate avea o infinitate de asimptote orizontale;

v)                 Dacă dreapta y=a este asimptotă orizontală la graficul funcţiei f, atunci distanţa dintre grafic şi asimptotă, măsurată pe verticală, descreşte necontenit când punctul de pe garfic se depărtează.

d) Parabolice. Se caută pentru funcţii definite pe mulţimi nemărginite, chiar dacă funcţiile sunt mărginite.


Spunem că parabola y=mx²+nx+p este asimptotă parabolică la ramura +¥ a graficului, dacă:


Spunem că parabola y=mx²+nx+p este asimptotă parabolică la ramura -¥ a graficului, dacă:


Dacă parabola y=mx²+nx+p este asimptotă la ±¥, atunci coeficienţii reali m,n,p verifică egalităţile:

Observaţie: egalitatea exprimă faptul că distanţa dintre graficul funcţiei şi parabolă, măsurată pe axa ordonatelor, tinde la 0.

7)     Se formează un tabel de valori al funcţiei f – tablou în care se trec, pentru sistematizare, rezultatele funcţie în anumite puncte:

8)     Trasarea graficului funcţiei – conform rezultatelor sistematizate în tabelul de valori – într-un sistem de axe carteziene.