Siruri si limite de siruri

Ne propunem prezentarea unor aspecte elementare privind sirurile de numere.
In mod obisnuit, prin sir se intelege o infinitate de numere, distincte sau nu, scrise unul dupa altul. Exemplu, sirul numerelor naturale:
1, 2, 3, 4,...

Definitie. Numim sir orice functie f : N->R, f(n) = an.
Notam: siruri si limite de siruri
Exemple de siruri:
1) 1, 1, 1, 1, ..., 1, ...
2) 1, -1, 2, -2, ..., n, -n, ...
3) 10, 102, 103, 104, ..., 10n, ...
4) 1, 1/2 , 1/3 , 1/4 , ..., 1/n , ...
5) 1, -1/2 , 1/3 , -1/4 , ..., (-1)n+1/n , ...

Definitie. Sirul siruri si limite de siruri este marginit daca exista M > 0 astfel incat , pentru orice siruri si limite de siruri.

Definitie. Sirul siruri si limite de siruri este monoton crescator daca . Sirul este monoton descrescator daca siruri si limite de siruri.

Exemple: sirul "1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ..." este crescator; sirul "1, 1/2 , 1/3 , 1/4 , ..., 1/n , ..." este descrescator.

Notiunea de convergenta

Daca observam ca termenii sirului siruri si limite de siruri se apropie din ce in ce mai mult de numarul a (se "ingramadesc"), pe masura ce n creste, vom avea o viziune intuitiva asupra convergentei sirului.
Vom spune ca an -> a (an tinde, converge catre a), a fiind limita sirului. Vom nota siruri si limite de siruri.
Mai exact:
Definitie. Sirul siruri si limite de siruri este convergent catre a sau are limita a daca orice vecinatate a lui a (interval deschis care-l contine pe a) contine toti termenii sirului, exceptand (eventual) un numar finit de termeni.
Sau:
Definitie. Sirul siruri si limite de siruri este convergent catre a (are limita a) daca , (un rang depinzand de siruri si limite de siruri), astfel incat , sa avem siruri si limite de siruri.

Observatie. Limita unui sir, daca exista, este unica.

Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.

Exemplu. Sirul siruri si limite de siruri se constata usor ca este descrescator: si marginit inferior de 1; deci
Un sir important: siruri si limite de siruri ; limita sa se noteaza cu siruri si limite de siruri

Proprietati ale sirurilor convergente:
1).   limita modulului este egala cu modulul limitei;
2).   limita sumei (diferentei, produsului, catului - daca exista) este egala cu suma (diferenta, produsul, catul) limitelor;
3).   constanta iese in fata limitei;
4).   limita radicalului este egala cu radicalul limitei;
5).   limita unei puteri se distribuie bazei si exponentului, adica lim(xy) = (limx)limy;
6).   limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei; etc.